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一 简介 

在动态信号测量中，传统微积分算法易受局部噪声和基线漂移影响，难以实现数字信号的实时连续处理。东方所原创的全程微积分方法，充分考虑全程波形的特征，有效避免传统微积分的缺陷，实现了动态信号测量过程中的实时微积分转换，其效果远远优于硬件调理。

二、工程中的迫切需求

在振动信号测量中，振动波形有加速度(A)、速度(V)和位移(D)三个基本参数，使用某一个传感器只能获取其中一种信号，基于虚拟扩展通道技术，结合先进的全程实时连续微积分技术，对该路扩展适当的微分和积分虚拟通道，就可以实现AVD一入三出全息实时测量功能：使用一个振动传感器，占用一路采集通道，同步连续获取加速度(A)、速度(V)和位移(D)三路信号。

三、AVD三参量之间的微积分关系

稳态振动的三个参量加速度、速度和位置之间的变换关系为：

以正弦振动波形为例，

其中速度相位超前位移90°，加速度相位超前位移180°。 

四、目前常规微积分方法的问题

理论上三者之间的关系为微积分关系，因此表面上看只需在物理通道信号采样过程中进行一次积分、一次微分、二次积分或二次微分即可实现AVD三测量，但实际情况并非如此。

由于实际采样的信号是连续信号数字离散后得到的，基于梯形法或辛普森法等的传统微积分运算方法，在对长时间的连续振动信号进行微积分计算时，具有难以克服的缺点。

传统积分的缺陷：积分操作易受信号基线和低频漂移的影响导致积分后波形基线的大幅波动。

传统微分的缺陷：微分操作易受信号局部噪声的影响导致微分后波形噪声放大。

对于二次微积分计算，则情况更加严重，因此在实际工程中几乎不可用。

五、全程微积分算法

本技术创新提出了全程微积分方法，对连续信号，考虑其全程波形特性，连续采用较长的一段（如1024，2048点等）时域信号，通过数据重构技术，将离散的信号重构成无限连续的信号，再进行微积分变化。

该方法尤其适合于连续采集的时间序列，充分考虑全程波形的特征，有效避免传统微积分的缺陷，使得在长时间连续信号采集过程中，可实时得到一二次微积分后的准确波形，实现AVD“一入三出”实时测量。

理论上，如果不限定计算时间（即信号长度不限），可将离散的信号重构成无限连续的信号，则用软件方法对连续信号微分和积分的精度，要远高于硬件积分和微分的精度，这是由于硬件微积分时硬件元器件将造成误差，而软件计算当重构信号无穷连续时，可认为误差非常小。

采的AVD虚拟扩展通道技术，在保证连续信号微积分精度高于硬件微积分的前提下，可实时进行。

六 全程微积分算法的误差分析

6.1 一次积分的实时变换精度

记：信号频率fs，采样频率SF

fs 在SF/350到SF/2,幅值误差<1%,相位误差小于1E-11 度

fs 在SF/256到SF/2,幅值误差<0.1%,相位误差小于1E-11 度

 

图1 一次积分实时计算的幅值和相位误差曲线

6.2 二次积分的实时变换精度

记：信号频率fs，采样频率SF

fs 在SF/312到SF/2,幅值误差<6%,相位误差小于1e-10 度

fs 在SF/256到SF/2.56,幅值误差<3%,相位误差小于1e-10 度

fs 在SF/200到SF/25.6,幅值误差<1%,相位误差小于1e-10 度

 

图2 二次积分实时计算的幅值和相位误差曲线

6.3 一次微分的实时变换精度

误差精度：在全频带范围内,幅值误差<0.00005%,相位误差小于3E-12 度

图3 一次微分实时计算的幅值和相位误差曲线

6.4 二次微分的实时变换精度

误差精度：在全频带范围内, 幅值误差<0.03%,相位误差小于2E-9 度

图4 二次微分实时计算的幅值和相位误差曲线

七 应用案例分析

7.1实验室简支梁上的对比测试

在简支梁上放置加速度传感器和电涡流位移传感器，对梁进行锤击脉冲激励，测取加速度传感器和位移传感器的输出信号，同时对加速度传感器使用二次全程积分计算位移波形，其结果如下所示。

7.2桥梁振动测试实例

取实际桥梁振动加速度信号（该信号为香港青马大桥上某个位置的振动加速度信号），持续时间为40秒，其波形如下图所示，采用传统梯形法进行积分计算，得到的速度信号明显可见存在大幅的低频震荡，其幅度为实际振动量的十几倍，显然使用该数据进行振动速度的幅值判定将会带来极大的误差。而使用本项目的全程微积分方法计算的振动速度信号，由于考虑全程特性而不存在大幅低频震荡的现象。

7.3 预应力钢筋混凝土铁路桥测试案例

本次测试对象是7跨预应力混凝土铁路桥，每跨均采用简支梁结构形式，单跨梁长32m。主要关心每跨梁的跨中位移幅值，试验中使用941B型传感器直接测量得到振动速度信号，然后利用本技术实时获取了准确的振动位移信号。使用本技术解决了实际桥梁测试中振动位移难以获取的问题，并且实现的成本低，操作和安装极其方便。

八、技术特点和优点

综上可见，基于全程微积分的AVD一入三出技术，相比传统的硬件积分器或软件微积分算法，具有如下优点：

（1）可以完全取代传统的硬件积分器和软件微积分，以及难以实现的硬件微分器，不仅大大减少了测试环节，而且明显提高了测量精度；

（2）精度高于硬件积分器，硬件积分器需要设置不同中心频率的档位以使用不同频率特性的信号，而全程微积分则对测量频率范围内均具有足够的精度；

（3）精度高于传统的数值微积分方法，不存在大幅低频波动和局部噪声放大的缺点；

（4）即使使用二次微积分仍可获取准确的计算结果；

（5）可实现连续长时间的实时微积分变换计算，实现AVD一入三出。

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