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一 简介

飞机地面振动试验(GVT)之一为纯模态试验 ^[1] 。在试验过程中，若干个激振器固定在某阶模态的频率同时激励。 通过调节每个激振器的大小和方向，可激励出纯模态，直接得到模态振型。这套机理可借鉴到试验模态分析(EMA) 和运行状态模态分析(OMA)的参数识别，对具有共同分母的频响函数FRF或半谱HSP进行提纯^[2~4]，得到参数识别的提纯算法。

对单输入多输出SIMO或多输入单输出MISO模态试验，FRF函数矩阵的一行或一列已知，这些FRF具有相同的分母，决定了模态的频率和阻尼。FRF由多阶模态叠加而成。只要为每个FRF找到合适的权系数，计权相加后可得到只含一阶模态的新FRF，此即所谓的提纯过程。由此再识别得到模态的频率和阻尼。改变权系数，可得到其它阶的模态频率和阻尼。

对于多输入多输出MIMO模态试验，多行或多列FRF已知，把一行或一列FRF看成一组，为每组FRF找到一个合适的权系数，同测点不同组频响函数计权相加后可得到一组只含一阶模态的FRF，此即所谓的MIMO提纯过程。由这组提纯后的FRF，再识别得到模态的频率，阻尼和振型。改变权系数，可得到其它阶的提纯FRF，识别模态频率，阻尼和振型。

对于EMA的MIMO试验，通过多变量指示函数(MvMIF) ^[5,6]，可计算得到权系数，进行提纯。当MvMIF的数值小于0.1，可通过FRF虚部直接得到模态振型。

对于EMA和OMA的MIMO试验，通过复模态指示函数(CMIF) ^[2,3]，可计算得到权系数，进行提纯。

当模态密集时，需要适当增加MIMO试验的参考点数目。

 

二 理论推导

2.1 SIMO或MISO EMA模态试验

对于SIMO或MISO的EMA试验，FRF的一行或一列已知。

激励点和响应点之间的FRF可写成：

其中，i为激励点，j为响应点，r为模态阶数，n为频率分析区间内总的模态阶数，m_r为广义模态质量。

(1)式常写成

此处●*为复共扼， Ar为复留数，且

                                         

当Ar为纯虚数，Ar的实部为0，Ar*= -Ar 。由式(1)

Ψ_irΨ_jr为实数。此处开始，本小节模态振型假定为实数。

假定采用质量归一提取振型，式(1)可重写为：

所有FRF有共同的分母。在对某阶模态进行参数识别时，需要考虑其它阶模态的影响。

假定选中m个FRF通过权系数进行叠加，满足m≥n，合成得到新的FRF：

即：

假定采用质量归一提取振型，式(1)可重写为：

此处r是模态阶数，r ≠ k。只在一阶模态r=k，

为非零。归一化处理，令。

这样，由式 (7)，可得到只含一阶模态的频响函数。不用考虑其它阶模态的影响，通过新的FRF可识别得到精确的模态频率和阻尼。

当所有模态的频率和阻尼已知后，由原始的FRF可逐点提取模态振型。

为了得到只含单阶模态的FRF，需要先计算得到实系数α_j（j=1，2，…m）。

单阶模态加速度或位移的频响函数如图1所示：

本小节此后的频响函数类型都看作加速度或位移。对于速度类型的频响函数，实部和虚部需要交换。对于OMA的半谱，可看成速度类型。

在图1中，以模态频率为中心，选择一个频率区间。在此频率区间外，虚部和实部之比的绝对值为：

确保μ<0.01,频率范围是

当ξ_r<0.005，外部频率区间为ω<0.62ω_r，ω>1.62ω_r

当ξ_r<0.001，外部频率区间为ω<0.90ω_r，ω>1.11ω_r

在所有FRF中，选m个虚部绝对值较大的FRF或全体FRF。

假设在频率区间为FRF谱线条数为N，因此求实系数α_k的方程为

图1 单自由度FRF实部和虚部

简写为

在式 (13)中，●^T表示转置矩阵。HI为FRF虚部。元素HI_ij，当i不为0，为频率区间外的谱线序号；i=0表示为频率区间内谱峰的位置，允许有小的误差，不会对识别参数的精度造成影响。j为FRF的点号。式(12)中，右边矩阵的第一个元素为1，也可假设成其它的常数。

从式 (13)，得到最小二乘解为

即

对于SIMO或MISO试验，以上算法的明显缺点是不适合密集模态或大阻尼模态。

如两个靠近的模态频率位置大于2条谱线，即频率差大于2Δf，此处 Δf=SF/N，SF为采样频率，N为进行FRF分析的FFT点数。这两阶的模态参数可识别出来。

注意到图1，模态频率位置处频响函数的实部为0，因此在式(12)中增加一行，新的方程为

两阶位置靠近的模态可以分开。新增的一行是HR，FRF实部，位于FRF主峰值的位置，和第一行元素所在位置相同。

对于包含只含一阶模态的FRF，在由式(10)和(11)决定的频率区间内，需要识别三个参数ω_r，ξ_r，Φ_r。方程为

此处HR_k为H的实部，HI_k为H的虚部，k为谱线序号，ω_k为第k条谱线的ω，N为频率区间内谱线总数。

简化成

方程的最小二程解为

此处X=[X₁  X₂  X3]^T，因此

得到了模态频率，阻尼和参考点的振型。根据这些识别出的参数，可得到合成的理论FRF。合成的理论FRF和合成的纯FRF的吻合程度，反映了识别出的模态参数的精度。当吻合程度不好时，其可能的原因有：在选定的频带区间，模态不够纯，即相邻模态的影响没有完全消除；或模态阻尼很大而选定的频率区间宽度不够。

2.2 SIMO或 MISO OMA模态试验

在式 (16)中, 矢量α_m×l为复数，式(16) 改写为

2.3 MIMO试验通过MvMIF计算

对MIMO试验，多变量指示函数MvMIF可直接用来计算系数，从而构造出一组纯FRF。

已知的FRF矩阵为H_q×p，q为总的响应点，p为激励点个数。

实系数可看成激励力矢量H_q×p，‖F‖=1，一组新的FRF为（HF)_q×l。因此，问题和飞机GVT纯模态试验相同，可定义为寻找激励力矢量，使得 

在每条谱线上，定义矩阵

从式(22), 得到

因此

在每条谱线，对下面的实对称矩阵进行奇异值分解

此处S为从大到小排列的实对角阵，U为归一化的实矩阵，有UU^T=I。I为单位阵。

多变量指示函数MvMIF曲线可以画出，如图2所示。

有p个激励点，就有p条MvMIF曲线，每条曲线由对角阵S相同序号的元素构成。

由MvMIF曲线的最小值点，可找到模态的位置。实系数为对应此最小奇异值的矩阵U的相应的一列。

当系数知道后，可得到一组提纯后的新频响函数FRF (HF)_q×l 。当MvMIF的值小于0.1，模态振型可通过相应谱线位置FRF的虚部直接得到。

图2  MvMIF曲线

MvMIF最小值依赖于激励的位置和数量，当有4阶模态密集相邻时，至少需要3个激励点。只要激励点数量足够，而且位置分布适当，即使重根也能轻易解耦。

当一组提纯后的FRF得到后，式(17) 扩展为

此处在元素ⁱHR和ⁱHI中, i表示一组FRF中的第i个FRF，一组共有q个。

直接求解方程(28)很费时，从等式 (28)，可得到等式 (29) 

可先求出模态频率和阻尼。

然后，再由式 (27)，求出模态振型

对于质量归一，存在等式

此处Ψ_v可看成单输入多输出SIMO系统的虚拟激励点，满足

Ψ₁，Ψ₂，…，Ψ_p 为激励点对应的振型。

由式(31)，推导出 

由式(33)，可计算得到Ψ_v。第r阶模态的实际振型为

2.4 MIMO试验通过CMIF计算

对于OMA试验以及FRF相干较差的EMA试验，MvMIF曲线无法清楚指定模态所在的位置，而复模态指示函数CMIF却可以。对某一频率处的FRF矩阵进行H_q×p进行复奇异值分解

此处Σ 为正的实对角阵，元素按从大到小的顺序排列。U为复矩阵， UU^H=I_q×q，I为单位阵。V为复矩阵，VV^H=I_p×p， I为单位阵。

各组的加权系数由下面复数方程得到

写成实数的方式为

将不同频率处Σ相同秩的元素连成曲线，得到了复模态指示函数，如图3所示。在曲线的最大值点，对应一阶模态。绝大部分模态在第一条曲线上，U矩阵和V矩阵的第一列和第一条曲线对应。U矩阵的一列和模态振型成比例，V矩阵的一列和模态参与因子成比例。当模态比较密集或有重根时，模态也有可能在CMIF的第二条或第三条曲线上。

图3   CMIF曲线

         首先从CMIF曲线确定模态频率所在的位置和在第几条CMIF曲线上，并得到U矩阵中和谱线的秩相应的一列矢量u_q×l 。

β为待定的复系数。此处，振型Ψ_q×l为复数  

         假定从式(35) CMIF算法得到的模态振型是可靠的。一组复系数ν_i(i=1,2,…p）为矩阵V的一列ν_p×l 。有

此处σ为对角阵Σ的一个和CMIF曲线对应的元素，即 CMIF曲线的值。

         对于提纯后的FRF，有

此处ω₀为CMIF最大值点对应的频率。

         对于提纯后的FRF，只有一阶模态，由公式 (6)，可得

此处最前的p点振型和参考点位置相同。

         由式(40)，可得到下面等式

或改写为

此处

式(44) 和(45)可写成矩阵的形式

此处元素ⁱHR和ⁱHI, i 表示一组提纯后FRF的第i个FRF。

对于q个提纯后的FRF， N为半功率带宽内谱线的条数，用于构建等式(48)。通过最小二乘法求解式(48)。 再由(46)和(47)，得到模态频率和阻尼。

当由式 (48)，求出γ。再由式 (42)，求出β。由式(38)，得到模态振型。

三 工程实例

实例1：这是在北航实验室完成的一个带方孔板的模态试验，只测和板垂直的方向，边界条件为自由。将4个传感器布在四个角，板在面内方向用钢丝绳悬挂，对垂直方向不造成约束，如图4所示。用锤子敲击所有的网格点，网格划分如图5所示。得到四组FRF，多变量指示函数MvMIF曲线如图4所示。

图4  带方孔板的模态试验

图5  模态试验测点的网格划分

将提纯算法得到的模态分析结果和特征系统实现算法ERA得到的分析结果进行比较，如表1所示：得到的模态频率和阻尼的结果非常一致。图6为对两种算法振型进行比较的Cross MAC结果，所得振型也非常一致。

表1 两种算法的分析结果比较范例

阶数	提纯算法		ERA
	频率   (Hz)	阻尼   (%)	频率   (Hz)	阻尼   (%)
1	33.586	1.603	33.591	1.605
2	70.987	1.205	70.991	1.266
3	87.439	0.997	87.483	1.107
4	96.397	1.465	96.418	1.488
5	118.015	1.270	118.086	1.296
6	184.437	1.476	184.596	1.538
7	186.397	1.326	186.511	1.384
8	199.971	1.365	199.947	1.442
9	222.719	0.910	222.841	1.173
10	258.237	1.094	258.264	1.174
11	275.833	1.372	275.854	1.441
12	301.631	1.078	301.560	1.589
13	341.377	1.272	341.384	1.350
14	353.209	1.394	353.046	1.448
15	417.771	1.164	417.988	1.544
16	422.187	1.025	422.001	1.334
17	472.246	0.669	472.668	1.161
18	485.886	0.858	484.554	1.567

图6  提纯算法对ERA的Cross MAC

在以上的分析结果中，第6阶和第7阶模态非常接近。

以上算例表明，提纯算法所得分析结果可靠，能识别密集模态。

实例2：这是一个超大阻尼隔振台的模态试验，台子由工信部十院进行设计。台子长40米，宽7米，高0.7米，质量为1000公斤。前3阶刚体模态阻尼很大，阻尼比在20%到40%。这三阶大阻尼模态耦合在一起，造成模态参数用普通的参数识别算法很难识别，尤其是很难得到协调的模态振型。

考虑到结构的对称性，MIMO试验时选择4个角的垂直方向进行激励，得到了4组FRF。振动台面均匀分成了10*4的网格，共有55个测点。台面下和台面上的振动认为是相同的，只测量垂直方向。传感器采用国家地震局力学所设计生产的941B，测量速度。频率分析区间为0到8Hz。

图7 模态试验测点的网格划分

表2为分析结果。

表2  分析结果

阶数	频率   (Hz)	阻尼比   (%)	振型说明
1	1.753	40.939	沉浮
2	1.950	37.670	点头
3	2.402	28.116	侧翻
4	6.228	2.799	一弯

图8为4阶模态的振型。

图8  4阶模态振型

前3阶模态严重耦合在一起，集总显示的FRF如图9所示。

图9  集总FRF显示

图10是ERA参数识别算法得到的稳定图，图中曲线为CMIF复模态指示函数曲线。

图10  ERA算法得到的稳定图

图11为PolyLSCF[3]算法得到的稳定图。

图11  PolyLSCF算法得到的稳定图

图12为PolyIIR[4]算法得到的稳定图。

图12  PolyIIR算法得到的稳定图

由于耦合严重，三种算法的稳定图都不够清晰。ERA算法稍好一点，但得到的刚体模态仍有个别点振型不够协调。

为得到提纯后的FRF，各个激励点的系数如表3：

表3  构造提纯FRF的4个激励点的系数

阶数	激励点1	激励点2	激励点3	激励点4	振型说明
1	0.5	0.5	0.5	0.5	沉浮
2	0.5	0.5	-0.5	-0.5	点头
3	0.5	-0.5	0.5	-0.5	侧翻
4	0.5	0.5	0.5	0.5	一弯

四组FRF乘以表3中的系数，每次得到一组新的提纯后的FRF。图13为第1阶和第4阶提纯FRF集总显示，参数识别时可选不同的频率区间分别识别，得到的模态振型非常协调，如图8所示。图14为第2阶提纯FRF集总显示，图15为第3阶提纯FRF集总显示。通过式(46)求得的模态振型非常协调。

图13  第1阶和第4阶提纯FRF集总显示

图14  第2阶提纯FRF集总显示

图15  第3阶提纯FRF集总显示

 

四   结论

1. 在SIMO和MISO试验，提纯算法能识别小阻尼以及频率相差大于2Δf的模态参数。

2. 对MIMO试验, MvMIF理论可用来得到一组提纯的FRF。识别参数的精度依赖于MvMIF的最小值，由激励点个数和位置决定。当激励点数量足够且位置合适，即使重根的模态也容易识别。复模态指示函数CMIF的提纯算法，既可用于EMA试验也可用于OMA试验。

3. 提纯FRF得到后，参数识别过程因为只需考虑一阶模态，非常简单，可看作实时完成。MIMO试验的FRF提纯因可以利用MvMIF或CMIF的数据，也可看作实时完成。提纯算法是目前所有模态识别算法中，唯一对密集模态参数识别能达到实时级的算法。

4. 从工程实例可以看出，对于耦合严重或者超大阻尼的模态试验，提纯后的FRF已完成了模态解耦，能直观显示模态的频率和阻尼。

5. 新算法进一步发展了多变量指示MvMIF和复变量指示函数CMIF的理论。以前这两种指示函数只能用来指示模态的位置，提纯算法利用它们可进一步直接识别出所有的模态参数，即模态频率、模态阻尼和模态振型。MvMIF指示函数值的大小反映了激振器的数量是否足够以及位置是否适当。

 

参考文献：

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[3]       Robert E. Coleman, Ranall J.Allemang, Experimental Structural Dynamics, 2004, Author House

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[5]       William R. the Multivariate Mode Indicator Function in Modal Analysis Proc, 3th IMAC 1985

[6]       Nash M. Use of the Multivariate Mode Indicator Function for Normal Mode Determination. Proc, 6th IMAC 1988