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一、技术背景

长期以来，国内外科技界一直在研究、测试、发现各种系统的传递函数。测试得到的信号、波形都是经过系统传递函数修改过的结果。如果能把系统的传递函数测到，再控制反演回去，就可得到输入系统信号的真正原始的波形、信号和数据。从上世纪六十年代国内外众多学者就开始了大量工作。在光明日报和人民日报曾经报导长春光机所蒋筑英教授研究光学系统的传递函数，曾像陈景润研究的哥德巴赫猜想一样轰动全国。

对仪器来说，传递函数就像人类DNA一样重要。传递函数的实时测试和控制反演长期以来是一个世界性的难题。

把频响函数反演回去实现控制，直到今天仍是一个十分困难的课题，较少看到成功的方法和产品。按早期思路，从1965年FFT（柯立—杜开法）出现以来，也曾掀起一股热潮。科学工作者企图把信号或波形通过FFT变换到频域，在频域做幅值校正，如1024点，则做512点频率的频域幅值校正，再用相频特性曲线作512个频率的相位移动，然后再把这512个调整后的信号做傅里叶逆变换，变回时域，变换中两边要再加合适的窗，在时域把波形无缝拼接起来，框图见图3.3所示。其过程很复杂，而且计算工作量极大，在采集过程中要实时完成就极其困难。

 

图1 传递函数波形复原的早期方案

 

 二、传递函数和频率响应函数的理论基础

一个物理系统的动态传递特性，如图2所示。

         

       图2 系统传递函数 

科学仪器系统中的放大器或传感器甚至一个测试系统在输入波形x(t)和输出波形y(t)之间存在着一个重要的函数，在时域称之为脉冲响应函数h(t)，在频域称之为传递函数H(P)（通常也称频响函数）。

其中：

    （1）

 假设一个线性定常系统可用传递函数H(P)来描述:

       （2）                   

式中p=a+jb,有的文献中p写作s, s=σ+jω.

当线性定常系统在物理上是可实现的，而且是稳定的，则系统可用频响函数H(f)来描述。H(f)定义为脉冲响应函数的傅里叶变换,即：

   （3）                  

对物理上可实现的稳定系统。系统可用频响函数来描述。频响函数是传递函数的一种特例，只要是传递函数的指数p=a+jb(或表示为s=σ+jω)中的a或σ等于零，b=2πf=ω即可，因此用频响函数代替传递函数不会失去有用的信息。令X(f)为x(t)的傅里叶变换

    （4）    或者             

      

           （5）

 令X（S）=∫^∞₀ x(t)e^-stdt，式中X（S）为x（t）的拉普拉斯变换，即式中s=σ+jω。上述这些公式是传递函数和频响函数的一些基本常用关系式。在数字信号处理中，他们是经常会碰到的，频响函数的典型公式如下：

H(f)=Y(f)/X(f)=|H(f)|e^{-jφ(f )}       （6）

式中|H(f)|为增益因子，即幅频特性。相角φ(f)为系统的相位因子，即相频特性。

在离散频率 f =k f ₀/m (K=0、1、2、3…m)处的幅频特性：

H_k=︱H (Kf₀/m)︱             （7）

 三、传递函数的精确测量和实时反演

对于传感器以及信号调理器、采集器等组成的测试系统，第一步是利用高精度频率幅值计算技术，精确测定系统的传递函数，第二步是在AD采集中实时进行反演计算。

快速精确测量测试系统和传感器的传递函数，包括测量其幅频曲线和相频曲线，其原理如下：首先对系统的输入波形x（t）和输出波形y(t)作FFT，求得它们的频谱曲线；然后，按图3所示流程求得它们的频响函数幅频特性和相频特性。

 

图3 测试传感器传递函数原理图

 

时域波形经数采仪DAQ变成数据序列，由窗函数处理后，经过特有的YSL波形复原技术实现实时控制和反演，得到真实原始波形和数据。其原理如图4所示。

 

图4 传函实时控制和反演过程

 

四、传递函数反演用于扩展系统频响

通过上述传递函数的实时反演技术，可以大大地扩展系统可用频率范围，创造性地通过软件算法有效扩展了硬件系统频响特性，解决了硬件设计上扩展频响范围的困难。下图通过传感器测量频率的下限范围，形象地说明了硬件系统扩展频响的代价和成本。

频响：1Hz 重量：10 克 价格：500元	频响：0.1Hz 重量：1 公斤 价格：5000元	频响：0.01Hz          重量：30 公斤          价格：15 万元

图5 通过硬件手段扩展系统频响范围的难度

五、测试实例和效果

为了验证实时反演的正确性。我们对中国地震局工程力学研究所的941BV垂直传感器进行了标定。图6和图7分别为941BV传感器通过添加实时反演功能后测试的幅频相频与未添加反演功能前的幅频相频曲线，数据结果如表1所示。

图6 941BV幅频反演对比曲线

图7 941BV相频反演对比曲线

 表1 测振传感器941BV传函反演前后的幅频、相频值

f(Hz)	未反演的幅频值	反演后的幅频值	未反演的相位差（°）	反演后的相位差（°）
0.08	0.178869	0.932486	133.8	-0.9
0.1	0.348829	1.026776	120.4	-0.8
0.12	0.515991	1.001319	105.2	-0.76
0.14	0.682163	1.012458	91.24	-0.9
0.16	0.797217	1.012212	78.51	-0.17
0.2	0.922103	1.026951	59.95	-0.2
0.3	0.983837	1.011545	35.35	-0.14
0.5	0.986060	1.006863	21.08	-0.3
1	0.987274	1.008666	10.01	-0.08
2	0.989963	1.008637	4.618	-0.2
5	0.998724	1.003827	0.096	-0.14
10	1.012656	1.004095	-3.553	-0.2
20	1.099805	1.015630	-12.44	-0.6
30	1.112469	0.979950	-24.83	-0.7
40	0.980096	1.022691	-31.28	-0.5
50	0.643952	0.961526	-32.85	-0.6

    从结果图形和数据中，可以明显的看到通过传感器实时反演后，幅频相频曲线得到了修正，扩展了传感器可测试的频率范围以及测试精度。

传递函数的实时控制和反演技术的研究取得成功，具有很高的应用价值。特别是在数据采集过程实现实时控制和反演，完全通过软件实现，不需要增加任何硬件和增加许多额外的工作量。它可使放大器和传感器扩展频率应用范围，提高幅频特性和精度，将来还可以用于振动控制。本技术在数据采集的程序中就完成了全过程。从结果分析中可以看出本方法使传感器和仪器系统的传函在数采中实时优化（更平坦），使可测量频率范围更宽，而且显著改善了低频特性，应用于941BV传感器低频可达0.08Hz，使原来的下限0.17Hz往下扩展一倍多，这对测桥梁等大型结构振动测试十分有利，测试精度更高，误差大大减小。

[END]